数の比較Part06

何のひねりもない数の比較の一覧表第6弾です。
今パートは2～10までの数を扱います。
未掲載の数や数式も随時追加の予定です。

表の見方
種別欄：自…自然数、整…整数、有…有理数、無…無理数、代…代数的数、超…超越数
特に断りのない限り、数式中のlog(x)は常用対数、ln(x)は自然対数、pは素数であるものとします。

値	名称	英語名	種別	判明済桁数
2.0298832128193	八の字結び目における双極体積	Figure eight knot hyperbolic volume
WMW、A091518
2.0344439357957	arg(2i-1)	Golden Rhombus β
\(\displaystyle \cos^{-1} \left( \frac{-1}{\sqrt{5}} \right) = \sec^{-1} \left( – \sqrt{5} \right) = \arg \left( 2i-1 \right) \\\displaystyle \approx 116.6550^{\circ} \) WMW、A137218
2.03816937970215		QRS Constant
\(\displaystyle S \left( N, a \right) = \sum_{i=1}^{N} \left[ 1 – a^2 \left( 1 – \frac{2i-2}{N-1} \right)^2 \right]^{-3/2} \\\displaystyle C = \lim_{N \to \infty} \frac{S \left( N, 1-c_{1}/N \right)}{N^{3/2}} \) WMW、A131330
2.09455148154232	ウォリス定数	Wallis Constant	代
\(\displaystyle W = \sqrt[3] \frac{45 + \sqrt{1929}}{18} + \sqrt[3] \frac{45 – \sqrt{1929}}{18} \)　 x³ -2x -5 = 0の解の一つ WMW、A007493
2.20741609916247	ソファ問題における面積の下限値	Moving Sofa Problem
S≧π/2+2/π。この問題のGerverが示すソファの面積は2.21953166887197…である。上限値は2.37。 WMW、A086118
2.23606797749978	√5		代

2.23943310400526		Takeuchi-Prellberg Constant		24?
\(\displaystyle c = \lim_{n \to \infty} \frac{T_n}{B_n \exp \left( W^2 \left( n \right) /2 \right)} \) T_n：竹内数、B_n：ベル数、W(n)：ランベルトのW関数 WMW、A143307
2.29316628741186		Foias constant β
\(\displaystyle x^{x+1} = \left( x+1 \right)^{x} \) WMW、A085846
2.29558714939263	放物線定数	Universal parabolic constant	超
\(\displaystyle P_{2} = \ln \left( 1+ \sqrt{2} \right) + \sqrt{2} \\\displaystyle = \sinh^{-1} 1 + \sqrt{2} \\\displaystyle = \cosh^{-1} \sqrt{2} + \sqrt{2} \) WMW、A103710
2.30258509299404	ln(10)

2.34694130416726	アインシュタイン関数の変曲点	Einstein Functions
\(\displaystyle E_1 \left( x \right) = x^2 e^x \left( e^x – 1 \right)^{-2} \) のとき、E”₁(x)=0の解 WMW、A118080
2.37313822083125		Lévy 2 constant	超
\(\displaystyle 2 \ln \gamma = \frac{\pi^2}{6 \ln 2} \) A174606
2.39996322972865		Golden angle	超
\(\displaystyle \left( 4-2 \Phi \right) \pi = \left( 3- \sqrt{5} \right) \pi \) = 137.5077640500378546…° WMW、A131988
2.41421356237309	白銀比	Silver ratio	代
\(\displaystyle 1+ \sqrt{2} = \frac{2+ \sqrt{2^{2} +4}}{2} \) WMW、A014176
2.50290787509589	二番目のファイゲンバウム定数	Feigenbaum constant	超?
WMW、A006891
2.506628274631	√2π		超
\(\displaystyle \sqrt{2 \pi} = \lim_{n \to \infty} n! e^n n^{-n-1/2} \) A019727
2.51188643150958	100^(1/5)	Pogson’s Ratio	代
天文学における恒星の明るさの比 WMW、A189824
2.58498175957925	シエルピンスキー定数	Sierpiński’s constant
\(\displaystyle \ln \left( 4 \pi^{3} e^{2 \gamma} \Gamma^{-4} \left( 4^{-1} \right) \right) \) γ：オイラーの定数 WMW、A062089
2.59653629045054		Barban’s Constant
\(\displaystyle \prod_p \left( 1+ \frac{3 p^2 – 1 }{ p \left( p+1 \right) \left( p^2 – 1 \right) } \right) \) WMW、A175640
2.59807621135331		Twenty-Vertex Entropy Constant	代
(3/2)√3 WMW、A104956
2.62205755429211		Lemniscate or Gauss constant	超
\(\displaystyle L = \varpi \pi G = 4 \sqrt{2 \pi^{-1}} \Gamma \left( 5/4 \right)^2 \\\displaystyle = \sqrt{2 \pi^{-1}} \Gamma \left( 1/4 \right)^2 /4 \\\displaystyle = 4 \sqrt{2 \pi^{-1}} \left( \left( 1/4 \right)! \right)^2 \\\displaystyle \int_{0}^{\pi} \frac{d \theta}{\sqrt{1 + \sin^2 \theta}} = 2 \int_{0}^{1} \frac{dx}{\sqrt{1-x^4}} \) WMW、A062539
2.66514414269022	ゲルフォント＝シュナイダー定数	Gelfond–Schneider constant	超
\(\displaystyle 2^{\sqrt{2}} \) WMW、A007507
2.6854520010653	ヒンチン定数	Khinchin’s constant	超?	7350
\(\displaystyle K_0 = \prod_{n \geq 1} \left( 1+ \frac{1}{n^2 + 2n} \right)^{\log_2 n} \) WMW、A002210
2.71828182845904	ネイピア数	Euler’s number	超	100000000000
\(\displaystyle e = \lim_{n \to \infty} \left( 1+ \frac{1}{n} \right)^{n} \)
2.7472382749323		Ramanujan nested radical	代
\(\displaystyle R_{5} = \sqrt{5+ \sqrt{5+ \sqrt{5- \sqrt{5+ \sqrt{5+ \sqrt{5+ \sqrt{5- \cdots}}}}}}} \\\displaystyle = \frac{2+ \sqrt{5}+ \sqrt{15- 6 \sqrt{5}}}{2} \) A286984
2.79128784747792		Nested radical S5	代
\(\displaystyle S_{5} = \frac{\sqrt{21} +1}{2} = \sqrt{5+ \sqrt{5+ \sqrt{5+ \sqrt{5+ \cdots}}}} \\\displaystyle = 1+ \sqrt{5- \sqrt{5- \sqrt{5- \sqrt{5- \cdots}}}} \) A222134
2.80777024202851	フランセン・ロビンソン定数	Fransén–Robinson constant
\(\displaystyle F = \int_{0}^{\infty} \frac{dx}{\Gamma \left( x \right)} = e+ \int_{0}^{\infty} \frac{e^{-x}}{\pi^2+ \ln^2 x} dx \) WMW、A058655
2.82641999706759	村田定数	Murata’s constant
\(\displaystyle C_{m} = \prod_{p} \left( 1+ \left( p-1 \right)^{-2} \right) \) WMW、A065485
2.95576528565199	根付き木が関連する定数α	Rooted Tree
根付き木の数列でn番目の値/n-1番目の値が収束する値 \(\displaystyle T_{0} = 0 , T_{1} = 1 , T_{i+1} = i^{-1} \sum_{j=1}^{i} \left( \sum_{d \vert j} T_{d}d \right) T_{i-j+1} \) のとき、 \(\displaystyle \alpha \equiv \lim_{n \to \infty} \frac{T_{n}}{T_{n-1}} \) 但し、d\|jは自然数jにおいてj/d ∈Nが成り立つ全ての自然数dを表す WMW、A051491
2.9754717165844	半径が1のルーローの三角形の表面積	surface area of a unit Reuleaux triangle
\(\displaystyle S = 8 \pi – 18 \cos^{-1} \left( 3^{-1} \right) \) WMW、A202473
3			自	∞
\(\displaystyle \sqrt{1 + 2 \sqrt {1 + 3 \sqrt{1 + 4 \sqrt{1 + 5 \sqrt{\cdots}}}}} \) (参考) gagone( =A(1, 1) = 2↑^1-2(1+3)-3 )
3.05940740534257	二重階乗定数 m(2)	Double factorial constant
\(\displaystyle \sum_{n \geq 1} \frac{1}{n!!} = \sqrt{e} \left( \frac{\sqrt{2}}{2} + \gamma \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2} \right) \right) \) →γ(a, x) WMW、A143280
3.14159265358979	円周率	Pi	超	31415926535897

3.24697960371746	白銀定数	Silver Constant, Tutte–Beraha constant, Tutte–Beraha constant	代
\(\displaystyle \varsigma = 2 + 2 \cos \frac{2 \pi}{7} \\\displaystyle = 2 + \frac{2+ \sqrt[3]{7+ 7 \sqrt[3]{7+ 7 \sqrt[3]{7+ \cdots}}}}{1+ \sqrt[3]{7+ 7 \sqrt[3]{7+ 7 \sqrt[3]{7+ \cdots}}}} \) x³ – 5x² + 6x – 1 = 0 の解の一つ WMW、A116425
3.27582291872181	レヴィ定数	Lévy’s constant
\(\displaystyle \gamma = \exp \left( \frac{\pi^2}{12 \ln 2} \right) \) WMW、A086702
3.29891353808841	三重階乗定数 m(3)	3rd reciprocal multifactorial constant
\(\displaystyle \sum_{n \geq 0} \frac{1}{n!!!} \\\displaystyle = \frac{e^{1/3}}{3} \left[ 3 + 3^{1/3} \gamma \left( \frac{1}{3}, \frac{1}{3} \right) + 3^{2/3} \gamma \left( \frac{2}{3}, \frac{1}{3} \right) \right] \\\displaystyle = \frac{e^{1/3}}{3} \left( 3 + 3^{1/3} \int_{0}^{1/3} t^{-2/3} e^{-t} dt + 3^{2/3} \int_{0}^{1/3} t^{-1/3} e^{-t} dt \right) \) WMW、A288055
3.30277563773199	青銅比	Bronze ratio
\(\displaystyle \sigma_{Rr} = \frac{3+ \sqrt{13}}{2} = \frac{3+ \sqrt{3^{2} +4}}{2} \\\displaystyle = 1+ \sqrt{3+ \sqrt{3+ \sqrt{3+ \sqrt{3+ \cdots}}}} \) Wiki、A098316
3.35988566624317	フィボナッチ数列の逆数和	Reciprocal Fibonacci constant	無
\(\displaystyle \Psi = \sum_{n \geq 1} F_{n}^{-1} \) WMW、A079586
3.36431757815589		van der Corput’s Constant
WMW、A143305
3.37028325949737	回文数の逆数和	Palindromic number
WMW、A118031
3.40706916562725		Magata’s constant
WMW、A092894
3.46274661945506		Wallis Formula
WMW、A065446
3.56994567187094	ロジスティック写像の集積点	logistic map	代?
WMW1、WMW2、A098587
3.6256099082219	Γ(1/4)
A068466
3.8414990075435	ロジスティック写像	logistic map	代?
x⁶-6x⁵+4x⁴+24x³-14x²-36x-81=0の解の一つ WMW、A086179
4	(下記参照)		自	∞
gartwo(=2*2), fztwo(=2^2), fugatwo(=2↓↓2=2^{2^2-1}), megafugatwo(=2↑↑2), boogatwo(= 2↑^2-22 )
4.13273135412249	√τe=√2πe

4.36777096705601		second inflection point of x^(1/x)
WMW、A103476
4.52782956616087		Freiman’s Constant	代
\(\displaystyle F = \frac{2221564096 + 283748 \sqrt{462}}{491993569} \) WMW、A118472
4.53236014182719	ヴァン・デル・パウ定数	Van der Pauw’s constant
\(\displaystyle \frac{\pi}{\ln 2} \) Wiki、A163973
4.66920160910299	一番目のファイゲンバウム定数	Feigenbaum constants δ	超
\(\displaystyle x_{n+1} = ax_{n} \left( 1-x_{n} \right) = a \sin \left( x_{n} \right) \\\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{x_{n+1} – x_{n}}{x_{n+2} – x_{n+1}} \\\displaystyle x \in \left( 3.8284; \ 3.8495 \right) \) WMW、A006890
4.81047738096535		John constant	超
\(\displaystyle \sqrt[i]{i} = i^{-i} = \left(i^i \right)^{-1} \\\displaystyle = e^{\pi/2} = \sqrt{\sum_{n \geq 0} \frac{\pi^n}{n!}} \) A042972
5			自	∞

5.24411510858423		Lemniscate constant
\(\displaystyle s = \frac{\Gamma^2 \left( 1/4 \right)}{\sqrt{2 \pi}} \) WMW、A064853
5.25694640486057	半径1のn次元球の体積が最大になる次元n	Ball
\(\displaystyle \gamma + \ln \pi – H_{n/2} = 0 \) の解 WMW、A074455
5.5		Linnik’s Constant
Heath-Brownによる値。L=2とする場合もあり WMW
5.57494152476088	ベル数/階乗の無限和	Bell Number
e^e-1 A234473
5.97798681217834	マーデルング定数に関連した値の一つ	Madelung Constant 2
\(\displaystyle h_{2} \left( 2 \right) = \pi \sqrt{3} \ln 3 \) WMW、A086055
6	最初の完全数		自	∞

6.28318530717958	τ=2π

6.58088599101792	2^e	Froda constant
A262993
6.85410196624968	(下記参照)
Φ^4。パスカルの三角形且つフィボナッチ数である桁を表す数列でn番目の値/n-1番目の値が収束する値 A100022
7			自	∞
gagtwo( =A(2, 2) = 2↑^2-2(2+3)-3 )
8			自	∞

8.70003662520819		Polygon Circumscribing
\(\displaystyle \prod_{n \geq 3} \sec \frac{\pi}{n} \) 逆数あり WMW、A051762
9			自	∞
garthree (=3*3)
9.28902549192081		Varga’s Constant
逆数も定義されている WMW、A073007
9.86960440108935	π^2

10			自	∞

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