例えば自然数19の場合、
(1). 19→1^2+9^2=82
(2). 82→8^2+2^2=68
(3). 68→6^2+8^2=100
(4). 100→1^2+0^2+0^2=1
なので高さは4となります。
自然数全体に占めるハッピー数の数は、1からどの値で取るかで多少のばらつきはありますが、凡そ14～15%は該当すると思われます。
参考文献はこちら。
| 高さ | 最小値 |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 10 |
| 2 | 13 |
| 3 | 23 |
| 4 | 19 |
| 5 | 7 |
| 6 | 356 |
| 7 | 78999 |
| 8 | \(\displaystyle 3789*10^{973}-1 \ll 10^{10^{3}} \) |
| 9 | \(\displaystyle 78889*10^{\frac{\sigma_{8}-305}{81}}-1
\\\displaystyle = 78889*10^{\frac{3789*10^{973}-1-305}{81}}-1
\\\displaystyle \lt 78889*10^{\frac{3789*10^{973}}{81}} \lt 78889*10^{10^{973+1.67004}} = 78889*10^{10^{974.67004}} \)
(2行目) \(\displaystyle \gt 78889*10^{\frac{3788.999*10^{973}}{81}}-1 \gt 78889*10^{10^{973+1.670039}}-1 \\\displaystyle = 78889*10^{10^{974.670039}}-1 \) 故に \(\displaystyle 78889*10^{10^{974.670039}}-1 \lt \sigma_{9} \lt 78889*10^{10^{974.67004}} \ll 10^{10^{10^{3}}} = \left( 10 \uparrow \right)^{3} 3 \) |
| 10 | \(\displaystyle 259*10^{\frac{\sigma_{9}-93}{81}}-1
\\\displaystyle \lt 259*10^{\frac{78889*10^{10^{974.67004}}}{81}} \lt 259*10^{10^{10^{974.670040001}}} \)
(1行目) \(\displaystyle \gt 259*10^{\frac{78889*10^{10^{974.670039}}-1-93}{81}}-1 \gt 259*10^{\frac{78888*10^{10^{974.670039}}}{81}}-1 \\\displaystyle \gt 259*10^{10^{10^{974.670039}}}-1 \) 故に \(\displaystyle 259*10^{10^{10^{974.670039}}}-1 \lt \sigma_{10} \lt 259*10^{10^{10^{974.670040001}}} \ll \left( 10 \uparrow \right)^{4} 3 \) |
| 11 | \(\displaystyle 179*10^{\frac{\sigma_{10}-114}{81}}-1
\\\displaystyle \lt 179*10^{\frac{259*10^{10^{10^{974.670040001}}}}{81}} \lt 179*10^{10^{10^{10^{974.6700400010000 \dots}}}} \)
(1行目) \(\displaystyle \gt 179*10^{\frac{259*10^{10^{10^{974.670039}}}-1-114}{81}}-1 \gt 179*10^{\frac{258*10^{10^{10^{974.670039}}}}{81}}-1 \\\displaystyle \gt 179*10^{10^{10^{10^{974.670039}}}}-1 \) 故に \(\displaystyle 179*10^{10^{10^{10^{974.670039}}}}-1 \lt \sigma_{11} \lt 179*10^{10^{10^{10^{974.6700400010000 \dots}}}} \ll \left( 10 \uparrow \right)^{5} 3 \) |
| 12 | \(\displaystyle 47*10^{\frac{\sigma_{11}-52}{81}}-1
\\\displaystyle \lt 47*10^{\frac{179*10^{10^{10^{10^{974.6700400010000 \dots}}}}}{81}} \lt 47*10^{10^{10^{10^{10^{974.6700400010000 \dots}}}}} \)
(1行目) \(\displaystyle \gt 47*10^{\frac{179*10^{10^{10^{10^{974.670039}}}}-1-52}{81}}-1 \gt 47*10^{\frac{178*10^{10^{10^{10^{974.670039}}}}}{81}}-1 \\\displaystyle \gt 47*10^{10^{10^{10^{10^{974.670039}}}}}-1 \) 故に \(\displaystyle 47*10^{10^{10^{10^{10^{974.670039}}}}}-1 \lt \sigma_{12} \lt 47*10^{10^{10^{10^{10^{974.6700400010000 \dots}}}}} \ll \left( 10 \uparrow \right)^{6} 3 \) |
| 13 | ??? |
上限値、下限値は筆者独自の計算によるものです。
高さ8以上はテトレーション並の増加速度となり、大体(10↑)n-63 (n≧8) に近似するようです。
ただ、高さ13以降はどうなるか判りませんが・・・
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